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函数的连续性基本概念以及函数连续性深入解读

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增量定义


 设函数y=f(x),当x从x0变化到x1时,差x1-x0称为自变量x的增量,记做Δx,即函数连续性Δx=x1-x0(或x1=x0+Δx).在自变量x的变化过程中,函数值y相应地从 f(x0)变化到 f(x1)=f(x0+Δx),差 f(x1)-f(x0)称为函数y的增量,记做Δy,即 增量的几何表示,如图1-18所示.增量Δx、Δy可能是正的,可能是负的.增量Δx、Δy不全为正数时的示意图请读者自己完成.例1 设函数y=f(x)=x2+1,求适合下列条件的增量Δx和Δy.

(1)当x由1变化到1.2时;
(2)当x由1变化到0.8时;
(3)当x由1变化到1+Δx时.


解(1)Δx=x1-x0=1.2-1=0.2

函数连续性

函数连续性

解:(2)Δx=x1-x0=0.8-1=-0.2 
连续函数

 解(3)Δx=x1-x0=1+Δx-1=Δx

连续函数



函数连续性



设函数 f(x)=根号x,其图像是一条连续的曲线,如图1-19所示.当x从1变

化到1+Δx时,对应的函数值从 f(1)=1变化到 连续函数.



函数连续性



图1-19








于是,函数连续性 ,当Δx→0(即1+Δx→1)时,对应的Δy→0[即 f(1+Δx)→ f(1)].


以上增量的变化过程可用极限 极限函数来表示,它刻画了函数 f(x)=根号x在点x=1处连续的特性.



设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,当自变量 x 在x0点处的增量Δx→0时,相应函数的增量Δy→0,即函数连续性 .则称函数f(x)在点x0处连续,x0称为f(x)的连续点.


设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义,若函数满足limf(x)(x->x0) =f(x0),则称 f(x)在点x0处连续,x0称为 f(x)的连续点.当limf(x)(x->x0) =f(x0) 时,称 f(x)在点x0处左连续.当 limf(x)(x->x0+) =f(x0)时,称 f(x)在点x0处右连续.由定义3可知,函数 f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件:

(1)函数f(x)在点x0处有定义;
(2)函数f(x)在点x0处的极限存在,即 存在;
(3)函数 f(x)在点x0处的极限值等于 f(x)在点x0处的函数值,
即limf(x)(x->x0) =f(x0) .这三个条件称为函数 f(x)在点x0处连续的三要素,缺少其中任何一个要素,都将导致函数 f(x)在x0点处不连续.


设 若函数 f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都连续,则称函数 f(x)在开区间(a,b)内连续.函数 f(x)称为区间(a,b)内的连续函数,区间(a,b)称为函数 f(x)的连续区间.若函数f(x)在区间(a,b)内连续,且在左端点x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.





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