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极限函数中无穷大和无穷小的定义及性质

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无穷小与无穷大
 

无穷小的定义

 
若【1】 ,则函数 f(x)称为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量,简称无穷小.
 
注意无穷小不是一个很小的数,它是在自变量的某一变化过程中一个以零为极限的变量.观察函数y=x2,因为【2】 ,所以x 2是当x→0时的无穷小.因为【3】 ,所以当x→1时x2不是无穷小.由此可见,一个函数是否为无穷小量,还取决于它的自变量的变化趋势.因此,说某一变量是无穷小量,必须指明自变量的变化趋势.
 
无穷小的性质
 
性质1 有限个无穷小的代数和为无穷小.

性质2 有限个无穷小的乘积为无穷小.

性质3 有界函数与无穷小的乘积为无穷小.


无穷大
 

无穷大

 
定义1.15 若当x→x0(或x→∞)时,函数 f(x)的绝对值无限增大,即【4】 ,则函数f(x)称为当x→x0(或x→∞)时的无穷大量,简称无穷大.由定义可知,无穷大不是一个很大的数,它是绝对值无限增大的变量.
 
定理1.1 在自变量的同一变化过程中,若 f(x)为无穷大,则【5】为无穷小;若 f(x)为无穷小并且f(x)≠0,则【6】为无穷大(证明略).
 



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