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极限的相关概念,数列{xn}及y=f(x)的极限是什么?

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数列{xn}的极限


 

1.数列的概​念

 
早在公元前3世纪,我国的庄子就有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的名言,这反映了我国古代劳动人民在长期的生产和生活实践中所产生的朴素的极限思想.
 
按一定顺序排列的一列数x1,x2,…,xn,…称为数列,记做{xn}.其中,xi(i=1,2,…,n,…)称为数列的第i项.如果数列的项数n与数列的各项xi(i=1,2,…,n,…)之间都是按照某种相同的规则对应的,并且这种对应规则可以用一个解析式表达,那么这个解析式称为数列的通项公式,记做xn=f(n)(n∈N*).由于项数n的取值特点,数列{xn}也是函数.
 
该函数的图像由平面上无穷多个孤立点组成.
 
2.数列的极限
 
例1 观察下面的数列,当n→∞(即n无限增大)时,xn的变化趋势.

数列
 
解(1)数列{xn}
 
1/2,2/3,3/4,4/5,….,n/n+1;
 
当前n-> ,Xn的值接近于1;
 
 
设数列{xn},如果当n→∞时,xn无限趋近于一个确定的常数 a,则把 a称为当n趋近于无穷大时,数列{xn}的极限,记做 或xn→a(n→∞).
 
 

函数y=f(x)的极限

 
1.x→∞时,y=f(x)的极限例3 观察当x→∞时,函数 的变化趋势.解 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),如图1-10所示,当x→+∞时,曲线无限趋近于x轴,曲线上各点处的函数值无限趋近于0,即 0.当x→-∞时,曲线无限趋近于x轴,曲线上各点处的函数值无限趋近于0,即(1/X)->0. 当x→-∞时,曲线无限趋近于x轴,曲线上各点处的函数值无限趋近于0,即(1/X)->0.
 



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