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什么是复合函数?符合函数的基本条件是什么?

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观察函数y=ln x 2,显然它不是基本初等函数,但是,它是由基本初等函数y=ln u和u=x 2通过中间变量u,使得y成为x的函数.函数y=ln x 2称为复合函数.

函数
 
 
设函数y=f(u)是u的函数,u=g(x)是x的函数,如果由x所确定的u使得y有意义,则把y=f[g(x)]称为x的复合函数.其中x称为自变量,u称为中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.由定义不难得知:
 
(1)函数的复合是有条件的.
 
例如,设函数y=arccos u,u=2+x 2,因为对于内层函数u=2+x 2的定义域(-∞,+∞)中的任何x值,对应的u值都不小于2,从而使得外层函数y=arccos u无意义,因此,形式上的复合函数y=arccos(2+x2)是没有意义的.事实上,两个函数可以进行复合的条件是:内层函数的值域与外层函数的定义域的交集必须是非空集合.
 
(2)内层函数的定义域与复合函数的定义域不一定是相同的.例如y= ,函数 是由函数 √1,u=1-x组成的复合函数.
 
复合函数的定义域为(-∞,1],内层函数的定义域为(-∞,+∞).(3)函数的复合可以是多重复合.例7 设函数y=u2,u=cosv,v=2x,试将y写成x的函数.解y=cos2v=cos2(2x),此函数由三层函数复合而成.最外层:y=u2——幂函数;中层:u=cos v——三角函数;最内层:v=2x——幂函数与常数的乘法运算.
 
由上例可见,一个比较复杂的函数,可以看做是由几个简单函数复合而成的.这里所说的简单函数一般是指由基本初等函数或基本初等函数经过四则运算所构成的函数.正确地分析函数的复合过程十分重要,必须要分清层次,掌握要领:“由外向内,逐层复合”.



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