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大学数学:解读基本初等函数、反函数定义是什么?

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基本初等函数

 
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数.
 
定义1.6 设y=f(x)定义域为D,值域为M.如果对于M中的每一个y值,在D中有确定的x值与之对应,则x是定义在M上的以y为自变量的函数,称其为函数y=f(x)的反函数,记做 .
 

 
习惯上,总用 x 表示自变量,y 表示因变量,因此,通常将y=f(x)的反函数写成y=f -1(x),x∈M.由于不同角的同名三角函数值有可能相等,所以三角函数在其定义域内不存在反函数.
 
要保证三角函数存在反函数,就需要改变三角函数的定义域.所以将反三角函数定义如下:
 
 
 
正弦函数y=sin x在 [ ]上的反函数称为反正弦函数,记做y=arcsin x,其定义域为[-1,1],值域为  [-π/2,π/2]余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数称为反余弦函数,记做y=arccos x,其定义域为[-1,1],值域为[0,π].
 
y=tan x在 上的反函数称为反正切函数,记做y=arctan x,其定义域为(-∞,+∞),值域为 .
 
由于互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称,因此可以利用三角函数的图形得到反三角函数的图像,如图1-1、图1-2、图1-3所示.观察图像容易得到反三角函数的性质.
 
(1)图1-1是利用正弦函数y=sin x 得到的反正弦函数y=arcsin x的图像,观察图像可以得到反正弦函数的性质:
① 定义域为[-1,1];
② 在[-1,1]上是增函数;
③ 反正弦函数为奇函数,即arcsin(-x)=-arcsin x;
④ 反正弦函数在[-1,1]上有界,即
|arcsinx|≤π/2 


1-1
 
(2)图1-2是利用余弦函数y=cos(0≤x≤π)得到的反余弦函数y=arccos x的图像,观察图像可以得到反余弦函数的性质:① 定义域为[-1,1];② 在[-1,1]上是减函数;③ 反余弦函数为非奇非偶函数;④ 反余弦函数在[-1,1]上有界,即0≤arccos x≤π.


1-2
 
(3)图1-3是利用正切函数 得到的反正切函数y=arctan x的图像,观察图像可以得到反正切函数的性质:① 定义域为(-∞,+∞);② 在(-∞,+∞)内是增函数;③ 反正切函数为奇函数,即arctan(-x)=-arctan x;④ 反正切函数在(-∞,+∞)上有界,即 arcsin(-√3)/2  


1-3



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