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大学数学:函数的特性有哪些?

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1.有界性定义


 
1.2 设函数y=f(x)的定义域为数集D,如果存在实数M>0,对于任意的x∈D,恒有 f(x)≤M,此时函数图像夹在直线y=±M之间,则y=f(x)称为在数集D上的有界函数;如果这样的M不存在,则y=f(x)称为在数集D上的无界函数.注意函数y=f(x)是否有界与函数的定义域有关.例如,y=x2在数集(0,1)内为有界函数,而在(0,+∞)内是无界函数.因此,在讨论函数的有界性时,必须指明讨论的范围.
 

2.单调性

 
定义1.3 设函数y=f(x)在区间I上有定义,对于I内任意的x1<x2,
 
(1)如果恒有 f(x1)< f(x2),那么称函数y=f(x)在I上是单调增加函数,区间I称为函数y=f(x)的单调增加区间.单调增加函数的图像随自变量在I内的增大而自左向右上升,即自变量越大,对应的函数值越大.
 
2)如果恒有 f(x1)> f(x2),那么称y=f(x)在I上是单调减少函数,区间I称为函数y=f(x)的单调减少区间.单调减少函数的图像随自变量在 I 内的增大而自左向右下降,即自变量越大,对应的函数值越小.在区间I上的单调增加函数与单调减少函数统称为区间I上的单调函数.注意函数y=f(x)的单调性与区间有关.
 
例如,函数y=x2在区间(-∞,0)上是单调减少函数,在区间(0,+∞)上是单调增加函数,在(-∞,+∞)上不是单调函数.因此,指出函数的单调性时必须要指明单调区间.
 

3.奇偶性

 
定义1.4 设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称,即对于任意的x∈D,必有-x∈D.
 
(1)如果恒有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)称为偶函数,其图像关于y轴对称.
 
(2)如果恒有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)称为奇函数,其图像关于原点对称.
 
例子:
 
函数奇偶性
 

4.周期性

 
设函数y=f(x)的定义域为 D,如果存在常数T>0,使得对于任意的x∈D,恒有x±T∈D,并且满足 f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称为以T为周期的周期函数.显然,若T是 f(x)的周期,则kT 也是 f(x)的周期(k∈Z).

 
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