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大学数学基础:什么是函数?函数的表示方法及要素

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1.函数的概念引例

 
圆的周长s与半径r之间的关系由s=2πr表示,这里s与r是两个相互依存(依赖)的变量.在本市内投寄信件,每封信件不超过20g时,应付邮费0.60元;超过20g而不超过40g时,应付邮费1.20元;以此类推,对质量不超过60g的信件,邮费y(单位:元)与每封信件的质量x(单位:g)之间的关系可用式子。
 
表示.这里的x与y也是两个相互依赖的变量.在某种现象的发生过程中,通常总能找到两个或两个以上相互依赖同时又相互制约的变量,这些变量的变化遵循着某种规律,使得变量间形成某种对应关系.定义1.1 设x和y是两个变量,D是实数集R的某个子集.若对任意的x∈D,变量y按照一定的规则总有确定的数值与之对应,则变量y称为变量x的函数,记做y=f(x).其中x称为自变量,y称为因变量,f表示x与y之间的对应规则(也叫函数关系).数集D称为函数y=f(x)的定义域.当x=x0时,与之对应的值y0称为函数y=f(x)在点x0处的函数值。


 
当x取遍D内所有数值时,与之对应的y值的集合称为函数y=f(x)的值域,记做M,即M={y y=f(x),x∈D}.在本章研究的函数中,只含有一个自变量,这类函数称为一元函数。
 

2 函数表示方法

 
函数的对应规则是连接变量x与变量y的纽带,由于对应规则不同,函数有着不同的表示方法.当对应规则用表格给出时,函数表示方法称为表格法;当对应规则用图形给出时,函数表示方法称为图像法;当对应规则用解析式给出时,函数表示方法称为解析法.当我们用解析法表示函数时,经常会遇到下面的几种情况:

(1)对于任意的x∈D,因变量 y 恒为一常数.这种函数称为常数函数,记做y=c(c为任意常数),如y=-2.
 
(2)当函数 y 由含有自变量 x 的一个解析式表达时,这种函数称为显函数,记做y=f(x).例如,y=2x2+1,y=sin x.
 
(3)当函数的对应规则由方程 F(x,y)=0所确定时,这种函数称为隐函数.例如,e xy-y=0,2 xy=ln y.
 
(4)当自变量x在定义域D的不同范围内取值时,因变量y因与之对应的规则不同而不同,此时函数的对应规则由几个不同的解析式来表达,这种函数称为分段表示的函数.例如,

函数
 
注意分段表示的函数是一个函数,上述函数不能说成“是三个函数”,分段表示的函数的定义域为各段自变量取值集合的并集.
 
(5)当x与y需通过第三个变量来建立对应规则时,一般用参数方程来表示函数关系,这种函数称为参数式函数,其中第三个变量称为参变量.
 

3 函数两个要素

 
通常认为定义域和对应规则称为函数的两个要素,判断两个函数是否相等,只需要知识其对应规则和定义域是否相同即可。
 
 
 



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